ECUACIONES DE LA LÍNEA RECTA
1. ECUACIÓN PENDIENTE- Y INTERCEPTO
Son ecuaciones de la forma y = m x
+b, en estas ecuaciones m
representa la pendiente (inclinación) y b el intercepto de la línea con
el eje y (punto de corte con y); , y por eso reciben el nombre de ecuación pendiente-
y intercepto
En las gráficas A, B y C, podemos establecer la relación entre las gráfica y las ecuaciones de sus rectas
- Línea A: tiene pendiente negativa (de izquierda a derecha la línea baja) por 3 unidades que baja en "y" la línea se desplaza 1 unidad horizontal en "x", por lo tanto su pendiente m = -3/1 = -3; su y-intercepto o punto donde se corta con "y" es en 2, es decir b = 2.
- Línea B tiene pendiente positiva (de izquierda a derecha la línea sube) por 3 unidades que sube en "y" la línea se desplaza 1 unidad horizontal en "x", por lo tanto su pendiente m=3/1= 3; su y-intercepto o punto donde se corta con "y" es en -2, es decir b = -2.
- Línea C: tiene pendiente negativa (de izquierda a derecha la línea baja) por 4 unidades que baja en "y" la línea se desplaza 1 unidad horizontal en "x", por lo tanto su pendiente m = -4/1 = - 4, y su y-intercepto o punto donde se corta con "y" es en -4, es decir b = -4
2. ECUACIÓN PUNTO- PENDIENTE
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella.
La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como:
En ésta ecuación (X1, Y1) son las coordenadas del punto.
- x1 - Coordenada del punto conocido en el eje de las abscisas (eje X)
- y1 - Coordenada del punto conocido en el eje de las ordenadas (eje Y)
- m - Pendiente de recta
Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,2) y tiene pendiente m= 2.
EJEMPLO 2 : Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de -.1/4. (una unidad hacia abajo y 4 a la derecha). Es negativa, puesto que al leer la gráfica de izquierda a derecha esta va descendiendo.
Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos (y-3) = -1/4 (x -1) . Que es la ecuación de la recta.
Pero ahí no hemos terminado, vamos a convertir esta ecuación a una de la forma y= mx +b, para lo cual despejaremos la y, después de resolver la operación entre el -1/4 y la x, así:
El numerador (arriba) -1 multiplica la x y multiplica el -1 y en el denominador (abajo) el 4 multiplica al uno, que aunque no se ve inicialmente esta allí. (cualquier expresión que no "tiene denominador, se asume que es uno)
APLICACIONES
La recta puede servir para modelar (simular) situaciones concretas, veamos:
Andrés quiere comprar un reproductor de MP3. Tiene $50 de su cumpleaños, pero el reproductor que él quiere cuesta $230, así que tendrá que ahorrar para juntar el resto. Su plan es ahorrar $30 al mes hasta que consiga la cantidad que necesita. Lo ayudaremos a escribir una ecuación para analizar ésta situación. Esto nos ayudará a saber cuándo tendrá suficiente dinero para comprar el reproductor de MP3.
Cuando escribimos la ecuación, x será el tiempo en meses, y y será la cantidad de dinero ahorrado. Pasado el primer mes, Andrés tiene $80. Lo que significa que cuando x = 1, y = 80. Entonces sabemos que la recta pasa por el punto (1, 80). También, sabemos que Andrés espera ahorrar $30 al mes. Esto equivale a la tasa de cambio, o pendiente, que entonces será 30.
Tenemos un punto y tenemos la pendiente - es todo lo que necesitamos para escribir una fórmula punto-pendiente. así que esa será la forma de ecuación lineal que usaremos. Recuerda, la forma punto-pendiente es (y - y1) = m(.x_x1) Cuando sustituimos el punto y la pendiente, la ecuación se vuelve y -80 = 30 (x-1).
Muy bien ¿y ahora qué? Bueno, tenemos la fórmula que describe el plan de ahorro de Andrés. Podemos utilizarla para calcular cuánto tiempo le tomará ahorrar el dinero que necesita para comprar el reproductor de MP3.
Recuerda, la y en la ecuación representa la cantidad que Andrés ha ahorrado, y la x representa el número de meses que ha estado ahorrando. Queremos encontrar cuál es el valor de x cuando y es igual a 230. Entonces, sólo necesitamos igualar y con 230 en nuestra ecuación y resolver x.
El resultado es x = 6. Le tomará a Andrés 6 meses ahorrar los $230 que necesita para comprar su reproductor de MP3. Ya que el problema nos dijo que conocíamos un punto y una pendiente, pudimos escoger la forma correcta para el trabajo de escribir la ecuación. Una vez que escribimos la ecuación, pudimos resolver la variable que queríamos encontrar.