Generalidades de conjuntos

DEFINICIÓN DE CONJUNTO: Lo podemos definir como una agrupación o colección de objetos que tienen una característica en común.

A cada uno de los objetos que conforman el conjunto reciben el nombre de ELEMENTOS.

NOTACIÓN,

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas y se representan entre llaves.

Por ejemplo, el conjunto de las vocales V = {a, e, i, o, u}

Cada una de las vocales pertenecen al conjunto V, lo cual se simboliza con Є.

Así podemos escribir por ejemplo que a Є V, es decir el elemento a pertenece al conjunto V.

Todo elemento tiene relación de pertenencia con el conjunto que lo contiene.

Los siguientes símbolos se usan con frecuencia en la teoría de conjuntos: 

 Los conjuntos pueden ser representados gráficamente mediante óvalos llamados diagramas de Venn o diagrama de Euler

Los elementos en un conjunto pueden ser definido por:

EXTENSIÓN: es decir cuando se nombran uno por uno sus elementos. V = {a, e, i, o, u}

COMPRENSIÓN: en este caso se nombran la o las características en común que los agrupa como conjunto, para el ejemplo anterior se puede nombrar por comprensión, diciendo su característica es decir que son las vocales, empleando el lenguaje matemático sería V = {x/x Є a las vocales}

Notemos que igualmente debe nombrarse el conjunto con una letra mayúscula y que se escribe en llaves con los símbolos x/x que de leer: "x tal que x", la "x" se refiere a cada uno de los elementos del conjunto, el símbolo Є es el símbolo de pertenencia, lo que significa que cada elemento de ese conjunto cumple con la condición de pertenecer al conjunto de las vocales.

EJEMPLOS: Vamos a escribir por extensión y por comprensión los números naturales mayores de 2 y menores o iguales de 6

M = {3,4,5} conjunto por extensión

M = {x/x ∈ ℕ; 2<x ≤6} conjunto por comprensión → se lee: x tal que x pertenece a los números naturales mayores que 2 y x menores o iguales que 6.

SUBCONJUNTO: Se refiere a los conjuntos que hacen parte de otro conjunto, podemos decir que un conjunto K es subconjunto de un conjunto R, si todos los elementos de K se encuentran en el conjunto R. Lo que implica que K está contenido en R y se simboliza : K R.

En este caso K y R establecen relación de contenencia, porque R contiene a K, esta relación solo se da entre conjuntos.                                                        

CONJUNTO UNIVERSAL: o conjunto universo, es un conjunto de referencia, que contiene a todos los conjuntos, por tantos a todos los elementos estudiados, se simboliza con la letra U y se representa mediante un rectángulo.

EJEMPLO: En este caso nuestro conjunto universal son los números naturales del 1 al 10; en donde podemos encontrar cada uno de estos elementos y los subconjuntos de los pares y de los impares del al 10

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN: La unión entre los conjuntos A y B, se simbolizan A U B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B, es decir pertenecen al menos a uno de los conjuntos.

Lo podemos simbolizar A U B = {X/ X Є A ˅ X Є B} → Se lee, x tal que x pertenece a A o x pertenece a B.

Observa que el símbolo: ˅, se lee como o; por lo cual la unión se conforma por los elementos que están en A o están en B, solo necesitan estar en uno de los conjuntos para hacer parte de la unión, aunque si están en ambos también hacen parte de la unión.

Puede ser representados en diagrama de Venn, en dónde lo sombreado corresponde a la unión entre los conjuntos A y B:

EJEMPLO: Dados los conjuntos M = {2, 4, 6, 8} y L = {3, 6, 9}, escribir por extensión y comprensión la unión entre estos.

Solución:

Por extensión: M U L = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}

Nótese que hacen parte de este conjunto, los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos, en el caso del 6 que está en ambos conjuntos se incluye, pero solo se escribe una vez.

Por comprensión:

M U L = {x /x Є M ˅ x Є L } → se lee, x tal que x pertenece a M o x pertenece a L

Si escribimos cada uno de los conjuntos M y L por comprensión, entonces el conjunto unión por comprensión quedará:

M U L = {x /x Є número par 2 ≤ x ≤ 8 ˅ x Є número impar 1 ˂ x ˂ 11 }

Ahora representemos la unión de estos dos conjuntos en un diagrama de Venn

Observemos que la región que está sombrada corresponde a la unión entre los conjuntos y que dentro de cada óvalo están los elementos que pertenecen a este, por tal motivo el número 6 queda incluido en ambos conjuntos sin escribirlo dos veces.

INTERSECCIÓN: La intersección entre los conjuntos A y B, se simbolizan A ∩ B, que corresponden a todos los elementos comunes a ambos conjuntos.

Lo podemos simbolizar A ∩ B = {X/ X Є A ˄ X Є B} → Se lee, x tal que x pertenece a A y x pertenece a B.

Representado en diagrama de Venn, en donde la región sombreada corresponde a la intersección:

Puede darse el caso de que entre dos o más conjuntos, no haya ningún elemento en común, en tal caso la intersección será vacía, que se simboliza con Ø y decimos que esos conjuntos son DISYUNTOS.

Notemos que a diferencia de la unión se utiliza el símbolo ˄, que leemos como: y, es decir, los elementos de la intersección deben estar de manera simultánea en los conjuntos A y B

EJEMPLO: Tomemos los mismos conjuntos del ejemplo de la unión y vamos a determinar por extensión y comprensión el conjunto resultante de su intersección.

M = {2, 4, 6, 8} y L = {3, 6, 9}

Por extensión: A ∩ B = {6} recordemos que la intersección corresponde a los elementos que están de manera simultánea en ambos conjuntos y en este caso, solo el número 6 cumple esta condición.

Por comprensión:

M ∩ L = {x /x Є M ˄ x Є L } → se lee, x tal que x pertenece a M y x pertenece a L

Si escribimos cada uno de los conjuntos M y L por comprensión, entonces el conjunto intersección por comprensión quedará:

M ∩ L = {x /x Є número par 2 ≤ x ≤ 8 ˄ x Є número impar 1 ˂ x ˂ 11 }

IMPORTANTE observar que en la intersección se cambia el símbolo ˅(o), por el símbolo ˄ (y), lo que significa que ya es necesario que cada elemento este en el conjunto M y en el conjunto L.

Representada gráficamente la intersección en el diagrama de Venn, sería: 

En donde la región sombreada corresponde a la intersección.

COMPLEMENTO: el complemento de un conjunto A, es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal, que no pertenecen a dicho conjunto.

El complemento de A, suele simbolizarse como A' o como Ac.

Podemos representar el complemento de A así: A' = {x/x Є U ˄ x A}

DIFERENCIA: La diferencia del conjunto A con el conjunto B, que es el conjunto

A - B, resulta de eliminar del conjunto A cualquier elemento que este en el conjunto B.

Es decir A- B = { A ∩ Bc }

DIFERENCIA SIMETRICA: entre A y B, es el conjunto A ∆ B de los elementos que están en A o están en B, pero no en ambos.

A ∆ B = A U B - A ∩ B