Definición de función, representaciones, dominio y rango

FUNCIÓN

Una función f(X) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto Y o f(x) (llamado codominio o contradominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio, los elementos del contradominio que se relacionan con elementos del dominio o son imágenes reciben el nombre de rango.

En la gráfica podemos observar como en el conjunto "X", esta variable toma ciertos valores que luego de "pasar" por la función f (x) = x + 1, nos transforma cada elemento en uno nuevo: f(x), variable "y" que depende del resultado de la suma de 1 a cada elemento; así -2+1 = -1 ; -1+1= 0.....

Toda función debe cumplir que °para cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio. Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función, en la funciones se establece entre las variables X (independiente ) y "Y" llamada también f (x) ( se lee f de x) porque depende o está en función de X, es decir Y es la variable dependiente...

Las funciones son empleadas para resolver problemas del mundo real y de la propia matemática a través del lenguaje matemático, a lo que usualmente se le da el nombre de modelar situaciones, la idea principal del modelamiento es la creación de un modelo, que representa en forma simplificada la realidad.

Veamos una situación simple que puede ser modelada por una función: Un operador de telefonía móvil cobra $500 por minuto, esta situación tiene dos variables, una de ellas es el tiempo que se hable y es la variable independiente que puede ser representada por la "X", mientras que el valor a pagar al operador será la variable dependiente "y" o f(x), (f de x) ya que el valor a pagar y, está en función de "X" o del número de minutos que se gasten de tiempo hablando por celular

La situación planteada podemos representarla como una función de diversas maneras, por ejemplo con:

a. DIAGRAMA SAGITAL:

b. PAREJAS ORDENADAS: Corresponde a coordenadas del plano cartesiano, por lo que el primer valor corresponde al valor de "x" (abscisa) y el segundo al de "y" (ordenada). (0,0) ; (1, 500) ; (2, 1000); ( 3 ,1500); (4, 2000) ; ( 5, 2500)....a. c. UNA TABLA DE VALORES:

d. UN PLANO CARTESIANO:

e. EXPRESIÓN ANALÍTICA O ALGEBRAICA: Es una fórmula o ecuación que relaciona las dos variables, la independiente Y o f(x) en función de la independiente; es decir con dicha expresión se puede determinar el valor de f(x) para cualquier valor de "x". En el caso específico de la situación de los minutos de celular a $500, se pude establecer que para saber cuanto dinero se ha de pagar, basta con multiplicar el número de minutos consumidos por $500 que es el valor de cada minuto. Por lo tanto la expresión analítica que modela esta situación será:

f(x) = 500 x

Si reemplazamos la "x" por los valores variables de 0, 1, 2,3,4,5....... que son los minutos consumidos, obtendremos como resultados 0, 500, 1000, 1500, 2000, 2500..... que es el dinero que vale el consumo de tales minutos, como pudimos observar en las representaciones de tabla de valores, diagrama sagital y plano cartesiano.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Dominio : Llamado conjunto de partida, es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen, como se había dicho anteriormente son los valores que le damos a "X" ( variable independiente)

Rango: O conjunto de llegada, formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina "f(x)", su valor depende del valor que le demos a "X". Nótese que en la representación anterior de diagrama de Venn, solo corresponden al rango aquellos elementos que son imagen de un elemento de "x".

Podemos observar que la gráfica corresponde a una línea recta y tal y como se vio en geometría del grado 10°, las líneas tiene ecuación de la forma Y = mx +b, en nuestro caso y = f(x), m = 1 y b = 3. Al ser una línea recta, se extiende infinitamente tanto en "x", por lo que su dominio son todos los números reales, de igual manera los valores de y corresponde a todos los reales, por lo tanto, también son todos los reales. Es decir tanto en "x" como en "y" la gráfica está en el intervalo (- ∞ ,∞ )

Así que para la función f(x) X + 3 Dominio = X € R y Rango = Y € R

IMPORTANTE: todas la funciones lineales y polinómicas en genera tienen este mismo dominio y su rango puede variar.

Ejemplo 2: Determinar Dominio y Rango de f(x) = X ^2 - 2X - 3

Si hacemos una tabla de valores, a la "x" le podemos dar cualquier valor dentro de los números reales, es decir está en el intervalo (- ∞ ,∞ ) lo que equivale a decir que x € R; mientras que en el eje "y" podemos observar que la gráfica de la parábola va desde -4 (incluyéndolo) y continua infinitamente, es decir que el rango de la función está en el intervalo [- 4 ,∞ ).

Así que para la función f(x) = X ^2 - 2X - 3 , su Dominio = X € R y Rango = Y € R [- 4 ,∞ )